Semi-major och semi-minor axlar - Semi-major and semi-minor axes

Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Halvmajor ( a ) och halvmindre axel ( b ) för en ellips

I geometri är en ellips huvudaxel den längsta diametern : ett linjesegment som går genom centrum och båda brännpunkterna , med ändar vid de bredaste punkterna i omkretsen .

Den halva storaxeln ( större semiaxis ) är den längsta semidiameter eller en halv av huvudaxeln, och därmed löper från centrum genom en fokus , och till omkretsen. Den halvlillaxeln ( smärre semiaxis ) av en ellips eller hyperbel är ett linjesegment som är åtmin rät vinkel med den halvhuvudaxel och har en ände vid centrum av den koniska sektionen. För det speciella fallet med en cirkel är halvaxlarnas längder båda lika med cirkelns radie .

Längden på halv-huvudaxeln a för en ellips är relaterad till den halv-mindre axelns längd b genom excentriciteten e och semi-latus ändtarmen , enligt följande:

Den halva storaxeln hos en hyperbel är, beroende på hur konventionen, plus eller minus en halv av avståndet mellan de två grenarna. Således är det avståndet från centrum till antingen toppunkten för hyperbolen.

En parabel kan erhållas som gränsen för en sekvens av ellipser där det ena fokuset hålls fast eftersom det andra får flytta godtyckligt långt bort i en riktning och hålla sig fast. Således tenderar a och b till oändligheten, en snabbare än b .

Huvud- och mindre axlarna är symmetriaxlarna för kurvan: i en ellips är den mindre axeln den kortare; i en hyperbol är det den som inte skär hyperbolen.

Ellips

Ellipsens ekvation är

där ( h k ) är centrum för ellipsen i kartesiska koordinater , där en godtycklig punkt ges av ( x y ).

Halvhuvudaxeln är medelvärdet för de maximala och minsta avstånden och för ellipsen från ett fokus - det vill säga avstånden från ett fokus till slutpunkterna för huvudaxeln:

I astronomi kallas dessa extrema punkter apsides .

En ellips semi-mindre axel är det geometriska medelvärdet för dessa avstånd:

En ellips excentricitet definieras som

Tänk nu på ekvationen i polära koordinater , med ett fokus vid ursprunget och det andra på riktningen:

Medelvärdet för och , för och är

I en ellips är halvhuvudaxeln det geometriska medelvärdet för avståndet från centrum till antingen fokus och avståndet från centrum till antingen directrix.

En ellips halvmindre axel löper från ellipsens centrum (en punkt halvvägs mellan och på linjen som går mellan brännpunkterna ) till ellipsens kant. Halv-mindre axeln är hälften av den mindre axeln. Minoraxeln är det längsta linjesegmentet vinkelrätt mot huvudaxeln som förbinder två punkter på ellipsens kant.

Halv-mindre axeln b är relaterad till den halv-stora axeln a genom excentriciteten e och semi-latus ändtarmen , enligt följande:

En parabel kan erhållas som gränsen för en sekvens av ellipser där det ena fokuset hålls fast eftersom det andra får flytta godtyckligt långt bort i en riktning och hålla sig fast. Således tenderar a och b till oändligheten, en snabbare än b .

Längden på den semi-mindre axeln kunde också hittas med hjälp av följande formel:

där f är avståndet mellan fokuserna, p och q är avstånden från varje fokus till vilken punkt som helst i ellipsen.

Hyperbel

Den halva storaxeln hos en hyperbel är, beroende på hur konventionen, plus eller minus en halv av avståndet mellan de två grenarna; om detta är a i x-riktningen är ekvationen:

När det gäller semi-latus rektum och excentricitet vi har

En hyperbolas tväraxel sammanfaller med huvudaxeln.

I en hyperbol kan en konjugerad axel eller en mindre längdaxel , som motsvarar en ellips mindre axel, dras vinkelrätt mot den tvärgående axeln eller huvudaxeln, varvid den senare förbinder hyperbolens två hörn (vändpunkter) med två axlar som korsar sig i mitten av hyperbolen. Slutpunkterna för den mindre axeln ligger på asymptoternas höjd över / under hyperbolens hörn. Vardera hälften av mindre axeln kallas halv-mindre axeln, av längd b . Genom att beteckna längden på halvhuvudaxeln (avståndet från centrum till toppunkten) som a , visas längden på halv- och halvhuvudaxlarna i hyperbolens ekvation i förhållande till dessa axlar enligt följande:

Den halvmindre axeln är också avståndet från en av hyperbolans fokus till en asymptot. Ofta kallad slagparameter , detta är viktigt i fysik och astronomi, och mäta avståndet som en partikel kommer att sakna fokus genom om dess resa inte störs av kroppen i fokus.

Halv-mindre axeln och den halv-stora axeln är relaterade genom excentricitet, enligt följande:

Observera att i en hyperbol kan b vara större än a .

Astronomi

Omloppsperiod

I astrodynamik är omloppstiden T för en liten kropp som kretsar kring en central kropp i en cirkulär eller elliptisk bana:

var:

a är längden på banans halvhuvudaxel,
är den centrala kroppens standard gravitationsparameter .

Observera att för alla ellipser med en given halvhuvudaxel är omloppsperioden densamma, bortsett från deras excentricitet.

Den specifika vinkelmomentet h för en liten kropp som kretsar kring en central kropp i en cirkulär eller elliptisk bana är

var:

a och är såsom definierats ovan,
e är banans excentricitet.

I astronomi är den halvhuvudaxeln ett av de viktigaste omloppselementen i en bana , tillsammans med dess omloppstid . För solsystemobjekt är den halvhuvudaxeln relaterad till omloppsperioden genom Keplers tredje lag (ursprungligen empiriskt härledd):

där T är perioden, och a är halv-huvudaxeln. Denna form visar sig vara en förenkling av den allmänna formen för tvåkroppsproblemet , som bestämts av Newton :

där G är gravitationskonstanten , M är massan av den centrala kroppen, och m är massan av den kretsande kroppen. Vanligtvis är den centrala kroppens massa så mycket större än den kretsande kroppen, att m kan ignoreras. Att göra detta antagande och använda typiska astronomienheter resulterar i den enklare form som Kepler upptäckte.

Den kretsande kroppens väg runt barycentret och dess väg i förhållande till dess primära är båda ellipser. Halvhuvudaxeln används ibland i astronomin som det primära till sekundära avståndet när massförhållandet mellan det primära och det sekundära är signifikant stort ( ); sålunda ges planets omloppsparametrar i heliocentriska termer. Skillnaden mellan de primocentriska och "absoluta" banorna kan bäst illustreras genom att titta på systemet Jord – Månen. Massförhållandet i detta fall är 81.300 59 . Jord-månens karakteristiska avstånd, den halvcentrala axeln för den geocentriska månbanan, är 384 400 km. (Med tanke på månbana excentricitet e  = 0,0549 är dess halvmindre axel 383800 km. Således är Månens omlopp nästan cirkulär.) Den barycentriska månbana, å andra sidan, har en halvhuvudaxel på 379.730 km, jordens motbana tar upp skillnaden, 4670 km. Månens genomsnittliga barycentric omloppshastighet är 1.010 km / s, medan jordens är 0.012 km / s. Totalt av dessa hastigheter ger en geocentrisk månbanahastighet på 1,022 km / s; samma värde kan erhållas genom att bara beakta det geocentriska halvaxelvärdet.

Genomsnittligt avstånd

Det sägs ofta att halvhuvudaxeln är det "genomsnittliga" avståndet mellan ellipsens primära fokus och den kretsande kroppen. Detta är inte riktigt korrekt, eftersom det beror på vad genomsnittet tas över.

  • medelvärdet av avståndet över den excentriska anomalin resulterar verkligen i halv-huvudaxeln.
  • medelvärdet över den sanna anomalin (den verkliga omloppsvinkeln, mätt i fokus) resulterar i den halvmindre axeln .
  • medelvärde över medelavvikelsen (den bråkdel av omloppsperioden som har gått sedan pericentret, uttryckt som en vinkel) ger tidsgenomsnittet .

Det tidsgenomsnittliga värdet för den ömsesidiga radien , är .

Energi; beräkning av halvhuvudaxel från tillståndsvektorer

I astrodynamik kan den halvhuvudaxeln a beräknas från orbitaltillståndsvektorer :

för en elliptisk bana och, beroende på konventionen, samma eller

för en hyperbolisk bana , och

( specifik orbital energi ) och

( standard gravitationsparameter ), där:

v är omloppshastighet från hastighetsvektorn för ett omloppsobjekt,
r är en kartesisk positionsvektor för ett kretsande objekt i koordinaterna för en referensram med avseende på vilken elementen i banan ska beräknas (t.ex. geocentrisk ekvatorial för en bana runt jorden, eller heliocentrisk ekliptik för en bana runt solen),
G är gravitationskonstanten ,
M är massan av den graviterande kroppen, och
är den kretsande kroppens specifika energi.

Observera att för en given mängd total massa är den specifika energin och halvhuvudaxeln alltid desamma, oavsett excentricitet eller massförhållandet. Omvänt, för en given total massa och halvhuvudaxel är den totala specifika orbitalenergin alltid densamma. Detta uttalande kommer alltid att vara sant under alla givna förhållanden.

Halv-stora och halv-mindre axlar av planetenes banor

Planetbanor nämns alltid som främsta exempel på ellipser ( Keplers första lag ). Men den minimala skillnaden mellan halv- och halvmindre axlar visar att de är praktiskt taget cirkulära. Den skillnaden (eller förhållandet) baseras på excentriciteten och beräknas som , vilket för typiska planetexcentriciteter ger mycket små resultat.

Anledningen till antagandet av framstående elliptiska banor ligger troligen i den mycket större skillnaden mellan aphelion och perihelion. Den skillnaden (eller förhållandet) baseras också på excentriciteten och beräknas som . På grund av den stora skillnaden mellan aphelion och perihelion kan Keplers andra lag lätt visualiseras.

Excentricitet Halvhuvudaxel a ( AU ) Semi-mindre axel b ( AU ) Skillnad (%) Perihelion ( AU ) Aphelion ( AU ) Skillnad (%)
Kvicksilver 0,206 0.38700 0,37870 2.2 0,307 0,467 52
Venus 0,007 0,72300 0,72298 0,002 0,718 0,728 1.4
Jorden 0,017 1,00000 0,99986 0,014 0,983 1,017 3.5
Mars 0,093 1,52400 1.51740 0,44 1,382 1,666 21
Jupiter 0,049 5.20440 5.19820 0,12 4,950 5.459 10
Saturnus 0,057 9,58260 9,56730 0,16 9.041 10.124 12
Uranus 0,046 19.21840 19.19770 0,11 18.330 20.110 9.7
Neptun 0,010 30.11000 30.10870 0,004 29.820 30.400 1.9

Referenser

externa länkar